Урок по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс). Арифметическая прогрессия Как решать арифметическую прогрессию 9

Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a1, a2, a3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a2-a1 =...=an-an-1=d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a1+an оказывается эквивалентной суммам a2+an-1, a3+an-2 и так далее. Действительно, поскольку a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, и an-1 = -d+an, то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для Sn) появляется из-за того, что сумм типа ai+1+an-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы Sn впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a1 = 8 и a5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: an = a1+d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a1 и a5. Воспользуемся последним способом, получаем: a5 = a1+d*(-1+5) или a5 = 4*d+a1, откуда следует, что d = (a5-a1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a9 имеем следующее выражение: a1+d*(9-1) = a9. Откуда легко получаем первый элемент ряда: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a1, однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a15 = d*(15-1)+a1 и a23 = d*(23-1)+a1. Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a1, поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a15 = 14*d+a1, откуда: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a1 через второе выражение: a23 = d*22+a1 или a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы Sn.

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S7-13.

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a 1 , a 2 , a 3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

1. Во-первых, зная всего два числа a 1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: S n = n*(a n +a 1)/2.

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a 1 +a n оказывается эквивалентной суммам a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и так далее. Действительно, поскольку a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , и a n-1 = -d+a n , то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для S n) появляется из-за того, что сумм типа a i+1 +a n-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы S n впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a 1 = 8 и a 5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: a n = a 1 +d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a 1 и a 5 . Воспользуемся последним способом, получаем: a 5 = a 1 +d*(-1+5) или a 5 = 4*d+a 1 , откуда следует, что d = (a 5 -a 1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a 9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a 9 имеем следующее выражение: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откуда легко получаем первый элемент ряда: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a 1 , однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23-1)+a 1 . Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a 1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a 1 , поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a 15 = 14*d+a 1 , откуда: a 1 =a 15 -14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a 1 через второе выражение: a 23 = d*22+a 1 или a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы S n .

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a 1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

1. Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.
2. Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.
3. После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S 7-13 .

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский

Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.

Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.

Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.

Для арифметической прогрессии справедливы формулы

, (1)

где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .

Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».

Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:

(3)

Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула

(5) где и .

Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает

Если обозначить , то

где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).

В частности , из формулы (5) следует , что

К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.

Теорема. Если , то

Доказательство. Если , то

Теорема доказана.

Например , используя теорему , можно показать , что

Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».

Пример 1. Пусть и . Найти .

Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .

Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .

Решение. Из условия примера вытекает система уравнений

Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем

Решением данной системы уравнений являются и .

Пример 3. Найти , если и .

Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .

Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .

Пример 4. Найти , если .

Решение. По формуле (5) имеем

Однако, используя теорему, можно записать

Отсюда и из формулы (11) получаем .

Пример 5 . Дано: . Найти .

Решение. Так как , то . Однако , поэтому .

Пример 6. Пусть , и . Найти .

Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .

Так как и , то здесь имеем систему уравнений

Решая которую, получаем и .

Натуральным корнем уравнения является .

Пример 7. Найти , если и .

Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений

Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .

Корнями квадратного уравнения являются и .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .

В таком случае, согласно формуле (6), имеем

2. Если , то , и

Ответ: и .

Пример 8. Известно, что и . Найти .

Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .

Отсюда следует система уравнений

Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим

Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .

Поскольку и , то .

Ответ: .

Пример 9. Найти , если и .

Решение. Поскольку , и по условию , то или .

Из формулы (5) известно , что . Так как , то .

Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений

Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .

Согласно формуле (1), можно записать или .

Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .

Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .

Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.

Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .

Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .

Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .

Ответ: .

Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .

Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .

Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Класс : 9

Система подготовки : материал для подготовки изучения темы по алгебре и подготовительный этап для сдачи экзамена ОГЭ

Цель : формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии

Задачи : научить различать виды прогрессии, научить правильно, использовать формулы

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера. Для этого используйте формулу

Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых .

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение:

Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений. Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

Примеры решения задач: Арифметическая прогрессия

Задача1

Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?

Решение

По условию задачи понятно,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть

а1=х, Sn=288, n=16

Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.

288=(2х+2*15)*16/2

Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2

288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней

145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.

121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака

Ответ:124 коробки

Задача2

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

Решение

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня, нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.

Ответ:200 мм.рт.ст.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Решение:

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,...,, если ее -ый член равен 239.

Решение:

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,...,, если ее сумма равна 306 .

Решение:

Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию

Решение:

Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять:

При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия

Ответ: при х=-1 и х=4

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Ответ: а1=1; S10=100

В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены .

Итак, мы знаем, что a1 = -3,4; d = 3. Найти: a5, a11-.

Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой: an = a1+ (n – 1)d. Имеем:

a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;

a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.

Как видим, в данном случае, решение не сложное.

Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна -4. Найдите тридцать четвертый член данной прогрессии.

Нам сказано, что a12 = 74; d = -4, а найти надо a34-.

В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1. Такая задача может быть решена в несколько действий.

1. С помощью члена a12 и формулы n-ого члена находим a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 · (-4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (-44);

Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1

a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34.

2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34-,

a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.

Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен -14.

Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы.

Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n-ого члена арифметической прогрессии применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает между собой нужный нам n-ый член и заданный в задаче член ak.

an = ak + (n – k)d.

Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы.

Дано: a12 = 74; d = -4. Найти: a34-.

Используем формулу an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет:

a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.

Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый член прогрессии.

С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так, применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d:

d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу.

Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106.

Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку:

d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.

Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему двух уравнений.

Геометрические прогрессии

1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .