• Теория игр: история и применение. Теория игр Изучив теорию игр я смогу

    Материал из Википедии - свободной энциклопедии

      1 История

      2 Представление игр

      • 2.1 Экстенсивная форма

        2.2 Нормальная форма

        2.3 Характеристическая функция

      3 Применение теории игр

      • 3.1 Описание и моделирование

        3.2 Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)

      4 Типы игр

      • 4.1 Кооперативные и некооперативные

        4.2 Симметричные и несимметричные

        4.3 С нулевой суммой и с ненулевой суммой

        4.4 Параллельные и последовательные

        4.5 С полной или неполной информацией

        4.6 Игры с бесконечным числом шагов

        4.7 Дискретные и непрерывные игры

        4.8 Метаигры

    Тео́рия игр - математический метод изучения оптимальныхстратегий виграх . Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, ихресурсах и их возможных поступках.

    Теория игр - это раздел прикладной математики , точнее -исследования операций . Чаще всего методы теории игр находят применение вэкономике , чуть реже в другихобщественных науках -социологии ,политологии ,психологии ,этике и других. Начиная с1970-х годов её взяли на вооружениебиологи для исследования поведения животных итеории эволюции . Очень важное значение она имеет дляискусственного интеллекта икибернетики , особенно с проявлением интереса кинтеллектуальным агентам .

    История исследований по теории игр

    Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии , которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в.А. Курно иЖ.Бертраном . В начале XX в.Э.Ласкер , Э.Цермело, Э.Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.

    Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики . Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге1944 года Джона фон Неймана иОскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior ).

    Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница ижурналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбеДжона Нэша ,и учёного в области теории игр; а в2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума ». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe », «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

    Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике.Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил вПринстонский университет , где посещал лекцииДжона фон Неймана . В своих трудахДж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировалиантагонистические игры , когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия«равновесие по Нэшу» , или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работыДж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования.Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренцииА.Смита , когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

    Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике ,технике ,антропологии . Во времяВторой мировой войны и сразу после нее теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

    В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

    Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга ,нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов вконфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работеЙохана Хёйзинга Homo Ludens (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике.. говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепцииЭрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные натрансакционном анализе . Понятие игры у Й.Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарахГ. П. Щедровицкого , основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССРГ. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ сталМосковский методологический кружок (ММК) .

    Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако, математический аппарат теории игр - затратен . Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Ряд известных ученых стализа вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы.Дж. Нэш , благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения«холодной войны» , что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

    Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали:Роберт Ауманн ,Райнхард Зелтен ,Джон Нэш ,Джон Харсаньи ,Уильям Викри ,Джеймс Миррлис ,Томас Шеллинг ,Джордж Акерлоф ,Майкл Спенс ,Джозеф Стиглиц ,Леонид Гурвиц ,Эрик Мэскин ,Роджер Майерсон .

    Теория игр - это наука, изучающая принципы принятия решений в ситуациях, в которых несколько агентов взаимодействуют между собой. Решения, принимаемые кем-то одним, влияют на решения остальных и на исход взаимодействия в целом. Взаимодействия такого типа называются стратегическими.

    Слово «игра» не должно вводить в заблуждение. Это понятие в теории игр трактуется шире, чем в повседневной жизни. Ситуация стратегического взаимодействия может быть описана в виде модели, которую и называют игрой. Таким образом, в теории игр игрой будет считаться не только игра в шахматы, но и голосование в Совете Безопасности ООН, и торг продавца с покупателем на рынке.

    Стратегические взаимодействия встречаются практически в любой сфере нашей жизни. Пример из экономики: несколько компаний, конкурирующих на рынке, при принятии решений должны оглядываться на действия конкурентов. Если мы будем говорить о политике, то кандидаты, соперничающие на выборах, объявляя свою предвыборную платформу, естественно, принимают во внимание позиции других кандидатов по отношению к этому вопросу. А если мы изучаем взаимодействие людей в обществе, то с помощью теории игр можно узнать много интересного о склонности людей к кооперации.

    Представители социальных наук часто используют теорию игр в качестве инструмента, который позволяет решать интересующие их задачи. Упрощая, теоретико-игровое моделирование можно разбить на два этапа.

    Сначала по реальной жизненной ситуации нужно построить формальную модель. Как правило, в модели нужно отразить три основные характеристики жизненной ситуации: кто взаимодействует друг с другом (такие агенты в теории игр называются игроками), какие решения могут принимать игроки и какие платежи они в результате этого взаимодействия получают. Формальная модель и называется игрой.

    Как только мы построили игру, ее нужно каким-то образом решить. На этой стадии мы полностью абстрагируемся от реальности и изучаем исключительно формальную модель. Как устроено решение модели? Мы должны зафиксировать концепцию поведения игроков в игре, то есть принципы принимаемых ими решений. Как только мы зафиксировали эту концепцию, мы можем постараться с ее помощью решить игру, то есть предъявить исход, которым закончится игра.

    С помощью разных теоретико-игровых концепций можно решать разные классы игр. Один из самых красивых теоретических результатов теории игр доказывает, что в некотором очень широком классе моделей можно гарантированно найти решение. Я имею в виду результат Джона Нэша, полученный им в 1950 году: в любой конечной игре в нормальной форме можно всегда найти по крайней мере одно равновесие в смешанных стратегиях. Хронологически это была первая универсальная теоретико-игровая концепция, которая позволяет гарантированно найти решение в очень широком классе моделей.

    В отличие от представителей социальных наук, математиков-игровиков больше интересуют внутренние свойства игр и концепций их решения. Именно благодаря таким теоретическим результатам мы можем быть уверены в том, что, строя и решая ту или иную теоретико-игровую модель, мы в итоге получим решение с необходимыми свойствами.

    Конечно, Джон Нэш не является единоличным автором теории игр. Теория игр как самостоятельная наука начала развиваться чуть раньше, в начале ХХ века. Первые попытки формально определить игры, стратегии игроков и концепции решения игр восходят к именам Эмиля Бореля и Джона фон Неймана. Однако именно Нэш предъявил концепцию равновесия, которая позволяет гарантированно найти решение в конечных играх. В честь автора теоремы о существовании равновесия в смешанных стратегиях в конечных играх это равновесие стали называть равновесием Нэша.

    Врученная в 1994 году первая Нобелевская премия за результаты в области теории игр (Джону Нэшу, Райнхарду Зелтену и Джону Харсаньи) фактически утвердила статус теории игр как самостоятельного научного направления со своими задачами и методами их решений. Последовавшие за этим еще несколько Нобелевских премий вручались как за фундаментальные теоретико-игровые результаты, так и за приложения теории игр к той или иной стороне нашей жизни. В ведущих университетах мира на программах и по экономике, и по политическим наукам теория игр обязательно входит в стандартный набор курсов. Часто ее изучают и психологи, и математики.

    Сегодня, если посмотреть на секции крупных конференций и на статьи в ведущих научных журналах по теории игр, количество работ, использующих аппарат теории игр для решения прикладных задач, гораздо больше, чем количество фундаментальных теоретико-игровых результатов. Текущее состояние дисциплины можно описать так: в теории игр сформировалось достаточно мощное ядро, пласт знаний, который позволяет получать хорошие и интересные результаты исследователям из смежных областей.

    Тем не менее всегда открываются новые интересные направления исследований и в самой теории игр. Так, благодаря развитию вычислительных технологий появились новые теоретико-игровые концепции, учитывающие возможности и ограничения вычислительных машин. Благодаря им появилась возможность решать новые задачи. Результат 2015 года о равновесии в одной из версий покера, полученный Боулингом, Берчем, Йохансоном и Таммелином, - замечательный пример использования современных теорий и технологий.

    Теория игр - совокупность математических методов решения конфликтных ситуаций (столкновений интересов). В теории игр игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Предмет особого интереса теории игр - исследование стратегий принятия решений участников игры в условиях неопределённости. Неопределённость связана с тем, что две или более стороны преследуют противоположные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от ходов партнёра. При этом каждая из сторон стремится принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

    Наиболее последовательно теория игр применяется в экономике, где конфликтные ситуации возникают, например, в отношениях между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Применение теории игр можно найти и в политике, социологии, биологии, военном искусстве.

    Из истории теории игр

    История теории игр как самостоятельной дисциплины начинается в 1944 году, когда Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн опубликовали книгу "Теория игр и экономическое поведение" ("Theory of Games and Economic Behavior"). Хотя примеры теории игр встречались и раньше: трактат Вавилонского Талмуда о разделе имущества умершего мужа между его жёнами, карточные игры в 18-м веке, развитие теории шахматной игры в начале 20-го века, доказательство теоремы о минимаксе того же Джона фон Неймана в 1928 году, без которой не было бы никакой теории игр.

    В 50-х годах 20-го века Мелвин Дрешер и Мерил Флод из Rand Corporation первыми экспериментально применили дилемму заключённого, Джон Нэш в работах о состоянии равновесия в играх двух лиц развил понятие равновесия Нэша.

    Рейнхард Сэлтен в 1965 году опубликовал книгу "Обработка олигополии в теории игр по требованию" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), с которой применение теории игр в экономике получило новую движущую силу. Шагом вперёд в эволюции теории игр связан с работой Джона Мейнарда Смита "Эволюционно стабильная стратегия" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974). Дилемма заключённого была популяризована в книге Роберта Аксельрода "Эволюция кооперации" ("The Evolution of Cooperation"), опубликованной в 1984 году. В 1994 году именно за вклад в теорию игр Нобелевской премии были удостоены Джон Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхард Сэлтен.

    Теория игр в жизни и бизнесе

    Остановимся подробнее на сути кофликтной ситуации (столкновении интересов) в том смысле, как он понимается в теории игр для дальнейшего моделирования различных ситуаций в жизни и бизнесе. Пусть индивидуум находится в таком положении, которое приводит к одному из нескольких возможных исходов, причём у индивидуума имеются по отношению к этим исходам некоторые личные предпочтения. Но хотя он может до некоторой степени управлять переменными факторами, определяющими исход, он не имеет полной власти над ними. Иногда управление находится в руках нескольких индивидуумов, которые, подобно ему, имеют какие-то предпочтения по отношению к возможным исходам, но в общем случае интересы этих индивидуумов не согласуются. В других случаях конечный исход может зависеть как от случайностей (которые в юридических науках иногда именуются стихийными бедствиями), так и от других индивидуумов. Теория игр систематизирует наблюдения за такими ситуациями и формулировки общих принципов для руководства разумными действиями в таких ситуациях.

    В некоторых отношениях название "теория игр" неудачно, так как наводит на мысль, что теория игр рассматривает лишь не имеющие социального значения столкновения, происходящие в салонных играх, но всё же эта теория имеет значительно более широкое значение.

    О применении теории игр может дать представление следующая экономическая ситуация. Пусть имеется несколько предпринимателей, каждый из которых стремится получить максимум прибыли, имея при этом лишь ограниченную власть над переменными, определяющими эту прибыль. Предприниматель не имеет власти над переменными, которыми распоряжается другой предприниматель, но которые могут сильно влиять на доход первого. Трактовка этой ситуации как игры может вызвать следующее возражение. В игровой модели предполагается, что каждый предприниматель делает один выбор из области возможных выборов и этими единичными выборами определяются прибыли. Очевидно, что этого почти не может быть в действительности, так как при этом в промышленности не были бы нужны сложные управленческие аппараты. Просто есть ряд решений и модификаций этих решений, которые зависят от выборов, совершённых другими участниками экономической системы (игроками). Но в принципе можно вообразить, что какой-либо администратор предвидит все возможные случайности и подробно описывает действие, которое нужно предпринимать в каждом случае, вместо того чтобы решать каждую задачу по мере её возникновения.

    Военный кофликт, по определению, есть столкновение интересов, в котором ни одна из сторон не распоряжается полностью переменными, определяющими исход, который решается рядом битв. Можно просто считать исход выигрышем или проигрышем и приписать им численные значения 1 и 0.

    Одна из самых простых конфликтных ситуаций, которая может быть записана и решена в теории игр - дуэль, представляющая собой конфликт двух игроков 1 и 2, имеющих соответственно p и q выстрелов. Для каждого игрока существует функция, указывающая вероятность того, что выстрел игрока i в момент времени t даст попадание, которое окажется смертельным.

    В итоге теория игр приходит к такой формулировке некоторого класса столкновений интересов: имеются n игроков, и каждому нужно выбрать одну возможность из стого определённого набора, причём при совершении выбора у игрока нет никаких сведений о выборах других игроков. Область возможных выборов игрока может содержать такие элементы, как "ход тузом пик", "производство танков вместо автомобилей", или в общем смысле, стратегию, определяющую все действия, которые нужно совершить во всех возможных обстоятельствах. Перед каждым игроком стоит задача: какой выбор он должен сделать, чтобы его частное влияние на исход принесло ему как можно больший выигрыш?

    Математическая модель в теории игр и формализация задач

    Как мы уже отмечали, игра является математической моделью конфликтной ситуации и требует наличия следующих компонент:

    1. заинтересованных сторон;
    2. возможных действий с каждой стороны;
    3. интересов сторон.

    Заинтересованные в игре стороны называются игроками , каждый из них может предпринять не менее двух действий (если в распоряжении игрока только одно действие, то он фактически не участвует в игре, так как заранее известно, что он предпримет). Исход игры называется выигрышем .

    Реальная конфликтная ситуация не всегда, а игра (в понятии теории игр) - всегда - протекает по определённым правилам , которые точно определяют:

    1. варианты действий игроков;
    2. объём информации каждого игрока о поведении партнёра;
    3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

    Примерами формализованных игр могут служить футбол, карточная игра, шахматы.

    Но в экономике модель поведения игроков возникает, например, когда несколько фирм стремятся занять более выгодное место на рынке, несколько лиц пытаются поделить между собой какое-либо благо (ресурсы, финансы) так, чтобы каждому досталось по возможности больше. Игроками в конфликтных ситуациях в экономике, которые можно моделировать в виде игры, являются фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В свою очередь в условиях войны модель игры используется, например, в выборе более лучшего оружия (из имеющегося или потенциально возможного) для разгрома противника или защиты от нападения.

    Для игры характерна неопределённость результата . Причины неопределённости можно распределить по следующим группам:

    1. комбинаторные (как в шахматах);
    2. влияние случайных факторов (как в игре "орёл или решка", кости, карточные игры);
    3. стратегические (игрок не знает, какое действие предпримет противник).

    Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

    Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. Определить такую стратегию - значит решить игру. Оптимальность стратегии достигается, когда один из игроков должен получить максимальный выигрыш, при том, что второй придерживается своей стратегии. А второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

    Классификация игр

    1. Классификация по числу игроков (игра двух и более лиц). Игры двух лиц занимают центральное место во всей теории игр. Основным понятием теории игр для игры двух лиц является обобщение весьма существенной идеи равновесия, которая естественно появляется в играх двух лиц. Что же касается игр n лиц, то одна часть теории игр посвящена играм, в которых сотрудничество между игроками запрещено. В другой части теории игр n лиц предполагается, что игроки могут сотрудничать для взаимной пользы (см. далее в этом параграфе о некооперативных и кооперативных играх).
    2. Классификация по числу игроков и их стратегиям (число стратегий не менее двух, может быть бесконечностью).
    3. Классификация по количеству информации относительно прошлых ходов: игры с полной информацией и неполной информацией. Пусть есть игрок 1 - покупатель и игрок 2 - продавец. Если у игрока 1 нет полной информации о действиях игрока 2, то игрок 1 может и не различить две альтернативы, между которыми ему предстоит сделать выбор. Например, выбирая между двумя видами некоторого товара и не зная о том, что по некоторым признакам товар A хуже товара B , игрок 1 может не видеть различия между альтернативами.
    4. Классификация по принципам деления выигрыша : кооперативные, коалиционные с одной стороны и некооперативные, бескоалиционные с другой стороны. В некооперативной игре , или иначе - бескоалиционной игре , игроки выбирают стратегии одновременно, не зная, какую стратегию выберет второй игрок. Коммуникация между игроками невозможна. В кооперативной игре , или иначе - коалиционной игре , игроки могут объединяться в коалиции и предпринимать коллективные действия, чтобы увеличить свои выигрыши.
    5. Конечная игра двух лиц с нулевой суммой или антогонистическая игра – это стратегическая игра с полной информацией, в которой участвуют стороны с противоположными интересами. Анатагонистическими играми являются матричные игры .

    Классический пример из теории игр - дилемма заключённого

    Двух подозреваемых берут под стражу и изолируют друг от друга. Окружной прокурор убеждён, что они совершили тяжкое преступление, но не имеет достаточных доказательств, чтобы предъявить им обвинение на суде. Он говорит каждому из заключённых, что у него имеется две альтернативы: признаться в преступлении, которое по убеждению полиции он совершил, или не признаваться. Если оба не признаются, то окружной прокурор предъявит им обвинение в каком-либо незначительном преступлении, например, мелкая кража или незаконное владение оружием, и они оба получат небольшое наказание. Если они оба признаются, то будут подлежать судебной ответственности, но он не потребует самого строгого приговора. Если же один признается, а другой нет, то признавшемуся приговор будет смягчён за выдачу сообщника, в то время как упорствующий получит "на полную катушку".

    Если эту стратегическую задачу сформулировать в сроках заключения, то она сводится к следующему:

    Таким образом, если оба заключённых не признаются, они получат по 1 году каждый. Если оба признаются, то каждый получит по 8 лет. А если один признается, другой не признается, то тот, который признался отделается тремя месяцами заключения, а тот, который не признается, получит 10 лет. Приведённая выше матрица правильно отражает дилемму заключённого: перед каждым стоит вопрос - признаться или не признаться. Игра, которую окружной прокурор предлагает заключённым, представляет собой некооперативную игру или иначе - бескоалиционную игру . Если бы оба заключённых имели возможность сотрудничать (то есть игра была бы кооперативной или иначе коалиционной игрой ), то оба не признались бы и получили по году тюрьмы каждый.

    Примеры использования математических средств теории игр

    Переходим теперь к рассмотрению решений примеров распространённых классов игр, для которых в теории игр существуют методы исследования и решения.

    Пример формализации некооперативной (бескоалиционной) игры двух лиц

    В предыдущем параграфе мы уже рассмотрели пример некооперативной (бескоалиционной) игры (дилемма заключённого). Давайте закрепим наши навыки. Для этого подойдёт также классический сюжет, навеянный "Приключениями Шерлока Холмса" Артура Конан Дойля. Можно, конечно, возразить: пример не из жизни, а из литературы, но ведь Конан Дойль не зарекомендовал себя как писатель-фантаст! Классический ещё и потому, что задание выполнено Оскаром Моргенштерном, как мы уже установили - одним из основателей теории игр.

    Пример 1. Будет приведено сокращённое изложение фрагмента одного из "Приключений Шерлока Холмса". Согласно известным понятиям теории игр составить модель конфликтной ситуации и формально записать игру.

    Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр с дальнейшей целю попасть на континент (европейский), чтобы спастись от профессора Мориарти, который преследует его. Сев в поезд, он увидел на вокзальной платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает, что Мориарти может выбрать особый поезд и обогнать его. У Шерлока Холмса две альтернативы: продолжать поездку до Дувра или сойти на станции Кентерберри, являющейся единственной промежуточной станцией на его маршруте. Мы принимаем, что его противник достаточно разумен, чтобы определить возможности Холмса, поэтому перед ним те же две альтернативы. Оба противника должны выбрать станцию, чтобы сойти на ней с поезда, не зная, какое решение примет каждый из них. Если в результате принятия решения оба окажутся на одной и той же станции, то можно однозначно считать, что Шерлок Холмс будет убит профессором Мориарти. Если же Шерлок Холмс благополучно доберётся до Дувра, то он будет спасён.

    Решение. Героев Конан Дойля можем рассматривать как участников игры, то есть игроков. В распоряжении каждого игрока i (i =1,2) две чистые стратегии:

    • сойти в Дувре (стратегия s i1 (i =1,2) );
    • сойти на промежуточной станции (стратегия s i2 (i =1,2) )

    В зависимости от того, какую из двух стратегий выберет каждый из двух игроков, будет создана особая комбинация стратегий как пара s = (s 1 , s 2 ) .

    Каждой комбинации можно поставить в соответствие событие - исход попытки убийства Шерлока Холмса профессором Мориарти. Составляем матрицу данной игры с возможными событиями.

    Под каждым из событий указан индекс, означающий приобретение профессора Мориарти, и рассчитываемый в зависимости от спасения Холмса. Оба героя выбирают стратегию одновременно, не зная, что выберет противник. Таким образом, игра является некооперативной, поскольку, во-первых, игроки находятся в разных поездах, а во-вторых, имеют противоположные интересы.

    Пример формализации и решения кооперативной (коалиционной) игры n лиц

    В этом пункте практическая часть, то есть ход решения примера задачи, будет предварена теоретической частью, в которой будем знакомиться с понятиями теории игр для решения кооперативных (бескоалиционных) игр. Для этой задачи теория игр предлагает:

    • характеристическую функцию (если говорить упрощённо, она отражает величину выгоды объединения игроков в коалицию);
    • понятие аддитивности (свойства величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе разбиений объекта на части) и супераддитивности (значение величины, соответствующее целому объекту, больше суммы значений величин, соответствующих его частям) характеристической функции.

    Супераддитивность характеристической функции говорит о том, что объединение в коалиции выгодна игрокам, так как в этом случае величина выигрыша коалиции увеличивается с увеличением числа игроков.

    Для формализации игры нам нужно ввести формальные обозначения вышеназванных понятий.

    Для игры n обозначим множество всех её игроков как N = {1,2,...,n} Любое непустое подмножество множества N обозначим как Т (включая само N и все подмножества, состоящие из одного элемента). На сайте есть занятие "Множества и операции над множествами ", которое при переходе по ссылке открывается в новом окне.

    Характеристическая функция обозначается как v и область её определения состоит из возможных подмножеств множества N . v (T ) - значение характеристической функции для того или иного подмножества, например, доход, полученный коалицией, в том числе, возможно, состоящей из одного игрока. Это важно по той причине, что теория игр требует проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

    Для двух непустых коалиций из подмножеств T 1 и T 2 аддитивность характеристической функции кооперативной (коалиционной) игры записывается так:

    А супераддитивность так:

    Пример 2. Трое студентов музыкальной школы подрабатывают в разных клубах, свою выручку они получают от посетителей клубов. Установить, выгодно ли им объединять свои силы (если да, то с какими условиями), используя понятия теории игр для решения кооперативных игр n лиц, при следующих исходных данных.

    В среднем их выручка за один вечер составляла:

    • у скрипача 600 единиц;
    • у гитариста 700 единиц;
    • у певицы 900 единиц.

    Пытаясь увеличить выручку, студенты в течение нескольких месяцев создавали различные группы. Результаты показали, что, объединившись, они могут увеличить свою выручку за вечер следующим образом:

    • скрипач + гитарист зарабатывали 1500 единиц;
    • скрипач + певица зарабатывали 1800 единиц;
    • гитарист + певица зарабатывали 1900 единиц;
    • скрипач + гитарист + певица зарабатывали 3000 единиц.

    Решение. В этом примере число участников игры n = 3 , следовательно, область определения характеристической функции игры состоит из 2³ = 8 возможных подмножеств множества всех игроков. Перечислим все возможные коалиции T :

    • коалиции из одного элемента, каждая из которых состоит из одного игрока - музыканта: T {1} , T {2} , T {3} ;
    • коалиции из двух элементов: T {1,2} , T {1,3} , T {2,3} ;
    • коалиция из трёх элементов: T {1,2,3} .

    Каждому из игроков присвоим порядковый номер:

    • скрипач - 1-й игрок;
    • гитарист - 2-й игрок;
    • певица - 3-й игрок.

    По данным задачи определим характеристическую функцию игры v :

    v(T{1}) = 600 ; v(T{2}) = 700 ; v(T{3}) = 900 ; эти значения характеристической функции определены исходя из выигрышей соответственно первого, второго и третьего игроков, когда они не объединяются в коалиции;

    v(T{1,2}) = 1500 ; v(T{1,3}) = 1800 ; v(T{2,3}) = 1900 ; эти значения характеристической функции определены по выручке каждой пары игроков, объединившихся в коалиции;

    v(T{1,2,3}) = 3000 ; это значение характеристической функции определено по средней выручке в случае, когда игроки объединялись в тройки.

    Таким образом, мы перечислили все возможные коалиции игроков, их получилось восемь, как и должно быть, так как область определения характеристической функции игры состоит именно из восьми возможных подмножеств множества всех игроков. Что и требует теория игр, так как нам нужно проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

    Как выполняются условия супераддитивности в этом примере? Определим, как игроки образуют непересекающиеся коалиции T 1 и T 2 . Если часть игроков входят в коалицию T 1 , то все остальные игроки входят в коалицию T 2 и по определению эта коалиция образуется как разность всего множества игроков и множества T 1 . Тогда, если T 1 - коалиция из одного игрока, то в коалиции T 2 будут второй и третий игроки, если в коалиции T 1 будут первый и третий игроки, то коалиция T 2 будет состоять только из второго игрока, и так далее.

    Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Поскольку стороны, участвующие в большинстве конфликтов, заинтересованы в том, чтобы скрыть от противника свои намерения, принятия решений в условиях конфликта, как правило, происходит в условиях неопределенности. Наоборот, фактор неопределенности можно интерпретировать как противника субъекта, принимающего решение (тем самым принятие решений в условиях неопределенности можно понимать как принятие решений в условиях конфликта). В частности, многие утверждения математической статистики естественным образом формулируются как теоретико-игровые.

    Теория игр - раздел прикладной математики, который используется в социальных науках (всего в экономике), биологии, политических науках, компьютерных науках (главным образом для искусственного интеллекта) и философии. Теория игр пытается математически зафиксировать поведение в стратегических ситуациях , в которых успех субъекта, делающего выбор зависит от выбора других участников. Если сначала развивался анализ игры, в которых один из противников выигрывает за счет других (игры с нулевой суммой), то впоследствии начали рассматривать широкий класс взаимодействий, которые были классифицированы по определенным критериям. На сегодняшний день «теория игр то вроде зонтика или универсальной теории для рациональной стороны социальных наук, где социальные можем понимать широко, включая как человеческих так не-человеческих игроков (компьютеры, животные, растения)» (Роберт Ауманн, 1987)

    Эта отрасль математики получила определенное отражение в массовой культуре. В 1998 году американская писательница и журналисткаСильвия Назар опубликовала книгу о жизни Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике за достижения в теории игр, а в 2001 по мотивам книги снят фильм «Игры разума». (Таким образом, теория игр - одна из немногих отраслей математики в которой можно получить Нобелевскую премию). Некоторые американские телевизионные шоу, например, Friend or Foe , Alias или NUMBERS периодически используют в своих выпусках теорию игр.

    Джон Нэш - математик,нобелевский лауреат известен широкой общественности благодаря фильму Игры разума.

    Понятие теории игр

    Логической основой теории игр является формализация трех понятий, входящих в ее определение и являются фундаментальными для всей теории:

    • Конфликт,
    • Принятие решения в конфликте,
    • Оптимальность принятого решения.

    Эти понятия рассматриваются в теории игр в самом широком смысле. Их формализации отвечают содержательным представлением о соответствующих объектах.

    Если назвать участников конфликта коалициями действия (обозначив их множество как D, возможные действия каждой из коалиции действия - ее стратегиями (множество всех стратегий коалиции действия K обозначается как S ), результаты конфликта - ситуациями (множество всех ситуаций обозначается как S ; считается, что каждая ситуация складывается вследствие выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии, так, что ), заинтересованные стороны - коалициями интересов (их множество - I) и, наконец, говорить о возможных преимуществах для каждой коалиции интересов K одной ситуации s " перед другим s "(этот факт обозначается как ), то конфликт в целом может быть описан как система

    .

    Такая система, представляющая конфликт, называется игрой . Конкретизации составляющих, задающих игру, приводят к различным классам игр.

    Классификация игр

    Отдельными классами бескоалиционный игр есть:

    • антагонистические игры, включая матричные игры и игры на единичном квадрате.
    • динамичные игры, в том числе дифференциальные игры,
    • рекурсивные игры,
    • игры на выживание

    и другие, также относятся к бескоалиционный игр.

    Математический аппарат

    Теория игр широко использует различные математические методы и результаты теории вероятностей, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижные точки), комбинаторной топологии, теории дифференциальных и интегральных уравнений, и другие. Специфика теории игр способствует разработке разнообразных математических направлений (например, теория выпуклых множеств, линейное программирование, и т.д.).

    Принятием решения в теории игр считается выбор коалицией действия, или, в частности, выбор игроком некоторой своей стратегии. Этот выбор можно представить себе в виде одноразового действия и возводить формально к выбору элемента из множества. Игры с таким пониманием выбора стратегий называются играми в нормальной форме . Им противопоставляются динамичные игры, в которых выбор стратегии является процессом, который происходит в течение некоторого времени, которое сопровождается расширением и сужением возможностей, получением и потерей информации о текущем состоянии дел, и т.п.. Формально, стратегией в такой игре есть функция, определенная на множестве всех информационных состояний субъекта, принимающего решения. Некритическое использование «свободы выбора» стратегий может приводить к парадоксальным явлениям.

    Оптимальность и развязки

    Вопрос о формализации понятия оптимальности является весьма сложным. Единое представление об оптимальности в теории игр отсутствует, поэтому приходится рассматривать несколько принципов оптимальности. Область возможности применения каждого из принципов оптимальности, используемых в теории игр, ограничивается сравнительно узкими классами игры, или же касается ограниченных аспектов их рассмотрения.

    В основе каждого из этих принципов лежат некоторые интуитивные представления о оптимум, как о чем-то «устойчивое», или «справедливое». Формализация этих представлений дает требованиях, предъявляемых к оптимуму и имеющих характер аксиом.

    Среди этих требований могут оказаться такие, которые противоречат друг другу (например, можно показать конфликты, в которых стороны вынуждены довольствоваться малыми выигрышами, поскольку крупных выигрышей можно достичь только в условиях неопределенных ситуаций); поэтому в теории игр не может быть сформулирован единый принцип оптимальности.

    Ситуации (или множества ситуаций), которые удовлетворяют в некоторой игре те или иные требования оптимальности, называются решениями этой игры. Так как представление об оптимальности не однозначны, имело развязки игр в разных смыслах. Создание определений решений игры, доведение их существования и разработка путей их фактического поиска - три основные вопросы современной теории игр. Близкими к ним есть вопросы о единственности решений игр, о существовании в тех или иных классах игр решений, которые имеют некоторые заранее определенные свойства.

    История

    Как математическая дисциплина, теория игр зародилась одновременно с теорией вероятностей в 17 веке, но в течение почти 300 лет почти не развивалась. Первой существенной работой по теории игр следует считать статью Дж. фон Неймана «К теории стратегических игр» (1928), а с выходом в свет монографии американских математиков Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944), теория игр сформировалась как самостоятельная математическая дисциплина. В отличие от других отраслей математики, имеющих преимущественно физическое, или физико-технологическое происхождение, теория игр с самого начала своего развития была направлена на решение задач, возникающих в экономике (а именно в конкурентной экономике).

    В дальнейшем, идеи, методы и результаты теории игр стали применять в других областях знаний, имеющих дело с конфликтами: в военном деле, в вопросах морали, при изучении массового поведения индивидов, имеющих различные интересы (например, в вопросах миграции населения, или при рассмотрении биологической борьбы за существование). Теоретико-игровые методы принятия оптимальных решений в условиях неопределенности могут иметь широкое применение в медицине, в экономическом и социальном планировании и прогнозировании, в ряде вопросов науки и техники. Иногда теорию игр относят к математическому аппарату кибернетики, или теории исследования операций.

    Читать еще: