Переходные процессы в rlc цепи постоянного тока. Переходные процессы в последовательной RLC-цепи. Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Решение такого уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения Корни уравнения определяются только параметрами цепи. Расчетная часть Для электрической цепи изображенной на рис. Подключение RLC-цепи к источнику постоянного напряжения U в момент времени t = 0 Определить: при каких значениях R переходный процесс носит апериодический характер; при каких значениях R переходный процесс носит колебательный характер; частоту ωС собственных затухающих колебаний для тех значений R для которых переходный процесс носит колебательный...

Лабораторная работа № 14

исследование переходных процессов в rcL -цепи

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы описываются уравнениями второго порядка типа

Решение такого уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения

Корни уравнения определяются только параметрами цепи

Величина α носит название коэффициента затухания контура, а ω 0 - резонансная частота контура.

Характер переходного процесса существенно зависит от вида корней р 1 и р 2 , которые могут быть:

вещественными и различными (R > 2 ρ );

вещественными и равными (R = 2 ρ );

комплексно-сопряженными (R < 2 ρ ).

Здесь - характеристическое сопротивление контура.

Расчетная часть

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1, заданы:

индуктивность катушки L ;

емкость конденсатора С;

сопротивление резистора R .

Рис. 1. Подключение RLC -цепи к источнику постоянного напряжения U

в момент времени t = 0

Определить:

при каких значениях R , переходный процесс носит апериодический характер;

при каких значениях R , переходный процесс носит колебательный характер;

частоту ω С собственных затухающих колебаний для тех значений R , для которых переходный процесс носит колебательный характер

квазипериод Т С собственных затухающих колебаний

Таблица 1

Определение характера переходного процесса в RLC -цепи

Экспериментальная часть

В экспериментальной части необходимо:

• наблюдать осциллограммы напряжений на элементах RLC -цепи в процессе заряда и разряда конденсатора при различных номиналах элементов цепи ;
• определить влияние номиналов элементов цепи на характер переходного процесса.
• сравнить экспериментальные результаты с расчетными.

Подготовьте лабораторную установку к наблюдению осциллограмм напряжения на конденсаторе. Принципиальная схема проведения измерений представлена на рис. 2.

Рис. 2. Принципиальная схема осциллографирования напряжения

на конденсаторе RLC -цепи

В лабораторной работе переходный процесс исследуется с помощью электронного осциллографа, поэтому процесс периодически повторяется. Это достигается тем, что на вход цепи с выхода генератора подается не одиночный скачок напряжения, а периодическая последовательность положительных импульсов (см. «Техническое описание лабораторной установки»). При положительном скачке напряжения (положительный импульс) происходит заряд конденсатора. При отрицательном скачке напряжения (пауза между импульсами) конденсатор разряжается.

Схема соединения элементов установки для комбинации элементов №1 представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема соединения элементов установки для осциллографирования

напряжения на конденсаторе (С = 10 нФ; L = 10 мГн; R = 200 Ом)

Регулятор выходного напряжения генератора импульсов поверните против часовой стрелки до упора. Собранную схему предъявите преподавателю. После проверки преподавателем собранной схемы включите установку.

Включите питание осциллографа. Режим работы осциллографа:

• двухканальный с одновременной индикацией напряжения обоих каналов;
• вход 1 – открытый; чувствительность 0,2 В / деление;
• вход 2 – открытый; 0,2 В / деление;
• синхронизация - внешняя (подключение к гнездам на левой боковой поверхности лабораторного модуля)
• длительность развертки 0,2 мс / дел.

При первоначальной настройке линии нулевых напряжений обоих каналов совместите и установите в центре экрана.

Включите генератор импульсов. Регулятор амплитуды импульсов установите в среднее положение. Получите на экране осциллографа устойчивое изображение формы напряжения на выходе генератора импульсов.

Регулировкой длительности установите длительность положительных импульсов равной 500 мкс (период повторения импульсов 1000 мкс). Установите амплитуду импульсов равной 1 вольт. В дальнейшем поддерживайте эту величину неизменной.

Зарисуйте в общих осях осциллограммы напряжения («осц. №1») на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы. При необходимости откорректируйте чувствительность входов осциллографа.

Включите генератор импульсов. Зарисуйте в общих осях осциллограммы напряжения («осц. №2») на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С

Подготовьте лабораторную установку к наблюдению осциллограмм тока переходного процесса в RLC -цепи.

Принципиальная схема проведения измерений представлена на рис. 4.

Рис. 4 . Принципиальная схема осциллографирования тока

переходного процесса в RLC -цепи

Схема соединения элементов установки для комбинации элементов №1 представлена на рис. 5.

Рис. 5 . Схема соединения элементов установки для осциллографирования

тока в цепи (С = 10 нФ; L = 10 мГн; R = 200 Ом)

Включите генератор импульсов. Зарисуйте осциллограммы тока в цепи. Рисунок выполните в тех же осях, что и осциллограммы №1 напряжений на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы.

Выключите генератор импульсов. Произведите замену элементов на панели лабораторного модуля (см. комбинацию №2 согласно таблице 1).

Включите генератор импульсов. Зарисуйте осциллограммы тока в цепи. Рисунок выполните в тех же осях, что и осциллограммы №2 напряжений на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы.

И т. д. проведите наблюдения и зафиксируйте результаты эксперимента для комбинаций №№ 3-7.

Выключите генератор импульсов.

Выключите лабораторную установку.

Контрольные вопросы

1. Каковы причины возникновения переходных процессов?
2. Какой режим работы называется установившимся?
3. Что называется переходным процессом?
4. Каков физический смысл постоянной времени τ?
5. Какой процесс в контуре называется апериодическим?
6. Какой процесс в контуре называется колебательным?
7. Как определяются частота и период свободных колебаний?
8. Почему убывает амплитуда свободных колебаний контура?
9. Что такое логарифмический декремент затухания?
10. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе в процессе заряда?
11. Сформулируйте законы коммутации.
12. Что такое нулевые и ненулевые начальные условия?
13. Какой вид имеет свободная составляющая переходных процессов в цепях второго порядка?
14. Что представляет собой принужденная составляющая?

Лабораторная работа №4

Цель работы: исследование переходных процессов в RLC – цепях при воздействии прямоугольных импульсов напряжения.

Одним из методов исследования переходных процессов в электрических цепях является операторный метод /1,2/. При этом используется преобразование Лапласа:

определяющее изображение F(p) по известному оригиналу f(t) .

Решение интегро-дифференциального уравнения цепи относительно искомой функции времени (оригинала) сводится к решению алгебраического уравнения для изображения.

1. RC - цепь

Пусть на вход цепи, схема которой приведена на рис.1,а, подается прямоугольный импульс напряжения. Требуется найти форму напряжения на входе цепи, Для этого необходимо выполнить следующие этапы вычислений:

1) записать аналитическое выражение входного сигнала;

2) составить интегро-дифференциальное уравнение цепи;

3) перейти к операторному уравнению;

4) решив операторное уравнение, найти изображение искомой функции;

5) перейти к оригиналу искомой функции.

Аналитическое выражение идеального прямоугольного импульса напряжения амплитуды E запишем в виде.

где l(t) – единичная функция, определяемая условиями:

l(t)=0, если t<0 и l(t)=1, если t>=0.

Выражение (2) представлено графически на рис.1,б. Для t>t u разность единичных функций дает нуль. Уравнение цепи имеет вид

где входное воздействие U(t) определяется выражением (2), U R (t) и i(t) – напряжение на конденсаторе и ток в цепи в произвольный момент времени. Выходное напряжение U R =i(t)R с точностью до множителя R совпадает с i(t) , поэтому выберем i(t) в качестве искомой функции и учтем, что i(t)=dq(t)/dt=CdU C (t)/dt . Тогда (3) с учетом (2) примет вид

Введем изображение тока I(p)=a и применим преобразование Лапласа (1) к обеим частям (4) . С учетом изображения единичной функции и теоремы интегрирования оригинала операторное уравнение примет вид

Решение его

Переход к оригиналу осуществляется также о помощью таблицы 1:

Таблица 1

Некоторые свойства преобразования Лапласа

№ Свойство

Графически зависимость (7) представлена на рис.1,в для случая t<

Рассмотрим схему на рис.2,а. Для получения зависимости U c (t) при входном воздействии (2) уравнение (3) представим так:

Вводя изображение напряжения U c (p)=a, переходим с помощью табл.1 к операторному уравнению:

где учтено, что U c (0)=0. Решая (9) относительно U c (p) и переходя к оригиналу, получим

Графически эта зависимость представлена на рис.2,в.

Таким образом, как следует из выражений (7) и (10) (см. рис1,в;1,г;2,в), передний и задний фронты входного П-импульса напряжения вызывают в RC-цепи переходной процесс. На переднем фронте происходит протяженный во времени заряд конденсатора (увеличение U c (t)), а ток i(t) по мере заряда конденсатора уменьшается до нуля. При воздействии заднего фронта импульса начинается заряд конденсатора через резистор и источник входного сигнала. Ток при этом течет в противоположном направлении и постепенно уменьшается по абсолютной величине. С этим связано появление на осциллограмме отрицательного выброса U R (t). Время переходного процесса, т.е. время, за которое конденсатор зарядится до напряжения источника E, теоретически бесконечно велико. На практике длительность переходного процесса в RC-цепях характеризуют постоянной времени t=RC , которая показывает, за какой промежуток времени ток в цепи уменьшается в e раз (из (7) при t=t i=0,367(E/R)) или - за какой промежуток времени напряжение на конденсаторе достигнет величины 0,633 E (из (10)) при t=t U c =(1-e -1)E=0,633E). При оценке t по осциллограмме U c (t) следует выполнить условие t<

Рассмотрим RL-цепь, схема которой представлена на рис.3,а, для которой входное напряжение

U(t)=i(t)R+U L (t) (11)

Или с учетом (2) и U L (t)=L di(t)/dt

Сравнивая (12) и (4), заметим, что эти уравнения совпадают при взаимной замене искомых функций и введении для RL- цепи постоянной времени t=R/L, поэтому решение (12) запишем по аналогии с (7):

где t=L/R . Форма напряжения U L (t) для RL-цепи повторяет форму напряжения U R (t) для RL-цепи (рис.3). Аналогично можно показать, что форма U R (t) для RL-цепи повторяет форму U C (t) для RC-цепи (рис.4). Для этого достаточно из (11) получить уравнение относительно l(t) и сравнить его с (8).

Переходной процесс в RL-цепи на переднем и заднем фронте входного импульса обусловлен протяженностью процесса накопления и рассеивания энергии магнитного поля в катушке.

В радиоэлектронике применяются цепи, напряжение на входе которых пропорционально производной или интегралу от входного напряжения. Такие цепи называются соответственно дифференцирующие или интегрирующими. Дифференцирующими являются цепи, схемы которых приведены на рис.1 и 3, если их постоянные времени достаточно малы (по сравнению с длительностью входного сигнала). Интегрирующими являются цепи, схемы которых показаны на рис 2. И 4, если их постоянные времени достаточно велики (по сравнению с интервалом интегрирования). Для этого выходное напряжение приходится выбирать существенно меньшим выходного.

3. RLC-цепь.

Рассмотрим цепь, схема которой представлена на рис.5,а. Для упрощения расчета рассмотрим воздействие на цепь положительной ступеньки напряжения, т.е. входное воздействие выберем в виде U(t)=E l(t). Тогда уравнение U(t)=U R (t)+U L (t)+U C (t), записанное относительно U C (t), примет вид

Переходя к операторному уравнению относительно изображения и решая его, найдем

Корни P 1,2 =

Уравнения p 2 +(r/L)p+1/LC=0, могут быть комплексными, вещественными(равными в частном случае), поэтому различают колебательный, апериодический и критический режим работы контура. При условии (l/LC)>R 2 /4L 2 имеем колебательный конур. Тогда, полагая p 1 =-s ± jw, где s=R/2L – коэффициент затухания контура, - круговая частота свободных (собственных) колебаний, - резонансная частота контура, перепишем (15) так:

Корни знаменателя в (16) простые, поэтому, применяя теорему разложения (см.табл.1) и считая затухание малым , т.е. w=w 0, имеем

Отсюда видно, что ток в цепи и напряжение на конденсаторе осциллируют, причем амплитуде осцилляций монотонно убывает, что характерно для переходного процесса в колебательном контуре.

4. Практическая часть

1. Ознакомится с оборудованием (генератор прямоугольных импульсов напряжения, осциллограф, макет).

2.Собрать RC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на резисторе и конденсаторе. По осциллограммам оценить постоянную времени цепи t и сравнить ее с произведением RC, где R C – номинальные значения параметров элементов.

3.Выполнить задание п.2 для случаев, когда на одну и ту же RC-цепь действует прямоугольные импульсы напряжения разной длительности и импульс с t u =const действует на RC-цепь, постоянная времени которой изменяется за счет изменения как R , так и C. Рассмотреть случаи t<t u . Для случая t<

4. Выполнить задания пунктов 2 и 3 применимо к RL-цепям. Для случая t<

5. Собрать последовательную RLC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на элементах цепи. По осциллограммам напряжения на элементах цепи наблюдать переход от апериодического к колебательному при изменении коэффициента затухания

В колебательном режиме оценить период колебаний T и сопоставить его с вычисленным значением. Зарегистрировать зависимость T от емкости С при .

6. Обсудить полученные результаты.

5. Контрольные вопросы

1. Что такое переходной процесс в электрической цепи?

2. Как оценивают длительность переходного процесса?

3. Что такое постоянная времени электрической цепи?

4. Какими выражениями описываются зависимости напряжений на элементах RC и RL – цепей от времени, если входным воздействием являются прямоугольный импульс напряжения?

5. Как оценить постоянную времени электрической цепи по осциллограмме напряжения на элементе цепи?

6. Можно ли оценить t по осциллограмме рис.2,г, используя переходной фронт импульса?

7. Всегда ли одинаковы постоянные времени цепи, оцененные по переднему и заднему фронту импульса?

8. Какие физические процессы происходят в RC и RL –цепях при воздействии прямоугольного импульса напряжения?

9. Почему в RLC-цепи возникает колебательный процесс при прямоугольном импульсе на входе?

10. Как можно качественно объяснить осциллограммы l(t) и U c (t) на рис.5?

11. Каким образом изменяются осциллограммы i(t) и U c (t) на рис.5 при изменении параметров колебательного контура?

Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – М.:Высш.шк.,1967.-388 с.

Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. – М.: Высш.шк., 1981. – 334 с.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Дифференциальное уравнение:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Это имеет место при соотношении параметров:

коэфициэнт затухания:

угловая частота собственных колебаний:

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

Это имеет место при условии:

Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp < Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.

Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи:

последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э.Д.С. Е;

Предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь.

1) При подключении последовательной RLC-цепи кисточнику постоянной Э.Д.С. Е (рис. 6.3.а) уравнение электрического равновесия цепи по второму закону Кирхгофа имеет вид:

U L +U R +U C =E (6.10)

с учетом соотношений

U R = R i=R C (dU C /dt);

U L =L (di/dt)=L C (d 2 U C /dt 2)

уравнение (6.10) можно записать в виде:

L C (d 2 U C /dt 2) + R C (dU C /dt) + U C = E (6.11)

Решение неоднородного дифференциального уравнения (6.11) опреде­ляется характеристическим уравнением: LCp 2 +RCp+1=0 ,

которое имеет корни

δ=R/2L - коэффициент затухания,

Резонансная частота.

В зависимости от соотношения δ 2 и ω 2 возможны три основных вида переходных процессов:

а) δ 2 > ω 2 или Корни характеристического уравнения – отрицательные вещественные. Переходный процесс имеет апериодический характер (рис. 6.3.б).

б) δ 2 < ω 2 или Корни характеристического уравнения – комплексные и сопряженные. Характер переходного процесса - колебательный и затухающий (рис. 6.3.в)

в) δ 2 = ω 2 или Корни характеристического уравнения вещественные и равные p 1 =p 2 =-R/2L. Характер переходного процесса - апериодический и затухающий (критический случай). Время переходного процесса минимальное.

Для первых двух случаев решение уравнения имеет вид:

(6.13)

V=U C (0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации.

Для случая δ 2 < ω 2 уравнение (6.13) приводится к виду:

, (6.14)

- частота затухающих колебаний.

Из уравнения (6.14) следует, что переходный процесс U c (t) имеет ха­рактер колебаний с угловой частотой ω и периодом Т=2π/ω , которые затухают с постоянной времени τ=2L/R=1/δ.

Для определения величины постоянной времени τ можно использовать огибающую колебательной кривой U c (t), имеющую форму экспоненты:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Для третьего случая δ=ω 0 решение уравнения (6.11) имеет вид:

. (6.15)

Особенность этого режима состоит в том, что при уменьшении R ниже значения переходной процесс становится колебательным.

2. При разряде конденсатора на RL-цепь (рис 6.4.а) возможны все три режима, рассмотренные выше и определяемые соотношением величин δ и ω 0 . Переходные процессы в этих режимах описываются уравнениями (6.13), (6.14), (6.15) при Е=0. Например, для случая δ<ω 0 уравнение (6.14) при колебательном разряде конденсатора имеет вид:

(6.16)

Кривая переходного процесса U c (t) приведена на (рис. 6. 4.б). Огибаю­щей кривой U c (t) является функция exp(-δt)=exp(-t/τ), которая может быть исполь­зована для определения постоянной времени τ и коэффициента затухания δ=1/τ.