• Линейная оболочка конечной системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство. Базис подпространства. §10. Полные системы векторов

    L - пересечение M всех подпространств L , содержащих X .

    Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X . Обычно обозначается . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X .

    Свойства

    См. также

    Ссылки


    Wikimedia Foundation . 2010 .

    • Джангар
    • Платёжный баланс

    Смотреть что такое "Линейная оболочка" в других словарях:

      ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА - пересечение Мвсех подпространств, содержащих множество Авекторного пространства Е. При этом Мназ. также подпространством, порожденным А. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия

      Линейная оболочка векторов

      Линейная оболочка векторов - множество линейных комбинаций этих векторов ∑αiаi со всеми возможными коэффициентами (α1, …, αn) … Экономико-математический словарь

      линейная оболочка векторов - Множество линейных комбинаций этих векторов??iаi со всеми возможными коэффициентами (?1, …, ?n). Тематики экономика EN linear hull …

      линейная алгебра - Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика

      Линейная зависимость - «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения … Экономико-математический словарь

      Оболочка - см. Линейная оболочка … Экономико-математический словарь

      Линейная зависимость

      Линейная комбинация - Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия

      ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА - группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия

    Книги

    • Линейная алгебра. Учебник и практикум для СПО Купить за 1471 грн (только Украина)
    • Линейная алгебра. Учебник и практикум для академического бакалавриата , Кремер Н.Ш.. В данный учебник включен ряд новых понятий и дополнительных вопросов, таких как норма матрицы, метод дополнения до базиса, изоморфизм линейных пространств, линейные подпространства, линейная…

    В статье описаны основы линейной алгебры: линейное пространство, его свойства, понятие базиса, размерности пространства, линейная оболочка, связь линейных пространств и рангом матриц.

    Линейное пространство

    Множество L называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющее I группе аксиом Вейля . Элементы линейного пространства называются векторами . Это полное определение; более кратко можно сказать, что линейное пространство – это множество элементов, для которых определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.

    Аксиомы Вейля.

    Герман Вейль предположил, что в геометрии у нас есть два типа объектов (вектора и точки ), свойства которых описываются следующими аксиомами, которые и были положены в основу раздела линейной алгебры . Аксиомы удобно разбить на 3 группы.

    Группа I

    1. для любых векторов х и у выполняется равенство х+у=у+х;
    2. для любых векторов х, у и z выполняется равенство х+(у+z)=(х+y)+z;
    3. существует такой вектор о, что для любого вектора х выполняется равенство х+о=х;
    4. для любого вектора х существует такой вектор (-х), что х+(-х)=о;
    5. для любого вектора х имеет место равенство 1х=х;
    6. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство λ(х +у )=λх +λу ;
    7. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство (λ+μ)х =λх +μх ;
    8. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство λ(μх )=(λμ)х ;

    Группа II

    Группа I определяет понятие линейной комбинации векторов, линейной зависимости и линейной независимости. Это позволяет сформулировать еще две аксиомы:

    1. существует n линейно независимых векторов;
    2. любые (n+1) векторов линейно зависимы.

    Для планиметрии n=2, для стереометрии n=3.

    Группа III

    Даная группа предполагает, что имеется операция скалярного умножения, ставящая в соответствие паре векторов х и у число (х,у ). При этом:

    1. для любых векторов х и у выполняется равенство (х,у )=(у,х );
    2. для любых векторов х , у и z выполняется равенство (х+у,z )=(x,z )+(y,z );
    3. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство (λх,у )=λ(х,у );
    4. для любого вектора х имеет место неравенство (х,х )≥0, причем (х,х )=0 тогда и только тогда, когда х =0.

    Свойства линейного пространства

    В большинстве своем свойства линейного пространства основаны на аксиомах Вейля:

    1. Вектор о , существование которого гарантируется аксиомой 3, определяется единственным образом;
    2. Вектор (-х ), существование которого гарантируется аксиомой 4, определяется единственным образом;
    3. Для любых двух векторов а и b , принадлежащих пространству L , существует единственный вектор х , также принадлежащий пространству L , являющийся решением уравнения a+ x= b и называемый разностью векторов b-a .

    Определение. Подмножество L’ линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если оно само является линейным пространством, в котором сумма векторов и произведение вектора на число определяются также, как в L .

    Определение. Линейной оболочкой L (х1 , х2 , х3 , …, хk ) векторов х1 , х2 , х3 , и хk называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Про линейную оболочку можно сказать, что

    - линейная оболочка является линейным подпространством;

    – линейная оболочка является минимальным линейным подпространством, содержащим векторы х1 , х2 , х3 , и хk.

    Определение. Линейное пространство называется n- мерным, если оно удовлетворяет II группе системы аксиом Вейля. Число n называется размерностью линейного пространства и пишут dimL=n .

    Базис – любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства . Смысл базиса таков, что векторами , составляющими базис, можно расписать любой вектора в пространстве .

    Теорема. Любые n линейно независимых векторов в пространстве L образуют базис.

    Изоморфизм.

    Определение. Линейные пространства L и L’ называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие х↔х’ , что:

    1. если х↔х’ , у↔у’ , то х+у↔х’+у’ ;
    2. если х↔х’ , то λх↔ λх’.

    Само это соответствие называется изоморфизмом . Изоморфизм позволяет сделать следующие утверждения:

    • если два пространства изоморфны, то их размерности равны;
    • любые два линейных пространства над одним и тем же полем и одинаковой размерности изоморфны.

    1. Множество многочленов P n (x ) степени не выше n .

    2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).

    3 . Множество функций C [ а , b ] непрерывных на [а , b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.

    4. Множество функций, заданных на [а , b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c ) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.

    5. Множество R + , если x ⊕ y x y , ⊙x x  .

    §8. Определение подпространства

    Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W V ) и такое, что

    а) x , y W x ⊕ y W ;

    б) x W ,    ⊙ x W .

    Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V ).

    Такое множество W называется подпространством пространства V .

    7 . Подпространство W само является пространством.

    ◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙x =  и (–1)⊙х = –х доказывают необходимое.

    Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {}и подпространство, совпадающее с самим пространством V , называются тривиальными подпространствами пространства V .

    §9. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов

    Пусть векторы e 1 , e 2 , … e n V и  1 ,  2 , …  n .

    Вектор x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 , … , e n с коэффициентами  1 ,  2 , …  n .

    Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.

    Множество всевозможных линейных комбинаций векторов
    называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:

    ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) = ℒ
    .

    8 . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

    ◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х =
    противоположным является элемент –x =
    . Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом,ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) является линейным пространством.

    Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек

    В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:

    Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?

    2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?

    3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?

    §10. Полные системы векторов

    Если в пространстве V существует конечный набор векторов
    такой что,ℒ
    V , то система векторов
    называется полной системой вV , а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e 1 , e 2 , …, e n V называется полной в V системой, т.е. если

    х V   1 ,  2 , …  n  такие, что x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

    Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V ), то пространство V называется бесконечномерным.

    9 . Если
    полная вV система векторов и y V , то {e 1 , e 2 , …, e n , y } – также полная система.

    ◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0.

    Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P .

    Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A . Обозначение L(A) .

    Можно показать, что для любых двух систем A и B ,

    A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда . (1)

    A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B) . (2)

    Доказательство следует из предыдущего свойства

    3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V .

    Доказательство

    Возьмём любые два вектора и из L(A) , имеющие следующие разложения по векторам из A : . Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

    Так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A .

    Так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A .

    Рассмотрим теперь матрицу . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L r (A) . Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L c (A) . Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств P n и P m соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

    Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

    Сумма и пересечение подпространств

    Пусть L и M - два подпространства пространства R .

    Cуммой L +M называется множество векторов x+y , где x ∈L и y ∈M . Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежитL+M , следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R ).

    Пересечением L ∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

    Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

    dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

    Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M . Пусть G g -мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G ⊂L и G ⊂M , следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M . Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M . Покажем, что векторы

    (6.1)составляют базис F=L+M . Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).



    Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

    Левая часть (6.3) является вектором подпространства L , а правая часть является вектором подпространства M . Следовательно вектор

    (6.4)принадлежит подпространству G=L∩M . С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G :

    (6.5)Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

    Но векторы являются базисом подпространства M , следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

    В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

    Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

    линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y , где x ∈ L, y ∈ M . В свою очередь x представляется линейной комбинацей векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) пораждают подпространство F . Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M .

    Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m . Следовательно:

    dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

    Прямая сумма подпространств

    Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M , если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z , где y ∈L и z ∈M .



    Прямая сумма обозначается L ⊕M . Говорят, что если F=L ⊕M , то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M .

    Теорема 6.2. Для того, чтобы n -мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M , достаточно, чтобы пересечениеL и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M .

    Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

    (6.11)является базисом пространства R . По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m ). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространстваR представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

    (6.13)Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L , а правая часть - вектором подпространства M и L ∩M =0 , то

    (6.14)Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

    (6.15)Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R .

    Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

    (6.16)Из (6.16) имеем:

    (6.18)Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x 1 ∈L и x 2 ∈M . Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

    (6.19)Вычитая (6.19) из (6.17), получим

    (6.20)Так как , и L ∩M =0 , то и . Следовательно и . ■

    Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана ):

    (8.13)

    В самом деле, пусть - базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

    Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору: . Все коэффициенты такого разложения нулевые: подпространства векторного пространства с билинейной формой - это множество всех векторов , ортогональных каждому вектору из . Это множество является векторным подпространством , которое обычно обозначается .

    Читать еще: