Как найти точки минимума и максимума функции: особенности, способы и примеры. Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции Стационарные и критические точки

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с

Как вычислять производную?

Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
4. Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и точек максимума функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.

значение

Наибольшее

значение

Наименьшее

Точка максимума

Точка минимума

Задачи на нахождение точек экстремумафункции решаются по стандартной схеме в 3 шага.

Шаг 1 . Найдите производную функции

• Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Шаг 2 . Найдите нули производной

• Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Шаг 3 . Найдите точки экстремума

• Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной;
• В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума – с плюса на минус.

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19.

1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Решим уравнение y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Производная положительная при x>9 и x<−9 и отрицательная при −9

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функциинеобходимо :

• Найти точки экстремума функции на отрезке (интервале).
• Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогаеттеорема :

Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.

14. Понятие и основные свойств неопределённого интеграла.

Если функция f (x X , и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f (x ) и g (x ) имеют первообразные на промежутке X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f (x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f (x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла .

Выражение вида называется интегралом от функции f(x) , где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x , с символом всегда присутствует dx .

Определение. Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C , содержащая произвольное постоянное C , дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx , т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что -дифференциал функции и определяется следующим образом:

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.

15.Таблица основных неопределённых интегралов.

Основные формулы

16. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х 0 =а, x 1, х 2, ..., х n = В (х 0

2. В каждом частичном отрезке , i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с i є и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с i) на длину ∆x i =x i -x i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с i) ∆х i.

4. Составим сумму S n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма S n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) - подынтегральной функцией, ƒ(х) dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [а; b] - областью (отрезком) интегрирования.

Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с.

17. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке . Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a) , используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b) : , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0 : .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .

18. Геометрические приложения определенного интеграла.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Прямоугольная С.К.	Функция, задана параметрически	Полярная С.К.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление площади поверхности вращения

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений:

Объем тела вращения: ; .

Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=sinx, прямыми

Решение: Находим площадь фигуры:

Пример 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

Отсюда находим x 1 =0, x 2 =2,5.

19. Понятие дифференциальных управлений. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить налинейные и нелинейные . Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

где p i (x ) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r (x ) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами .

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x ) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y .

· - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и - произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.

· Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m - масса тела, x - его координата, F (x , t ) - сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

· Дифференциальное уравнение Бесселя - обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя.

· Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

· Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

· Одномерное волновое уравнение - однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если - отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , а параметр a задаёт свойства струны:

· Уравнение Лапласа в двумерном пространстве - однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

· Уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

20. Дифференциальные уравнения с разделяющимся применимыми. Линейные уравнения и метод Бернулли.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

Простой алгоритм нахождения экстремумов..

• Находим производную функции
• Приравниваем эту производную к нулю
• Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
• Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
• Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём 0 , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f (x ) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие :

f? (x ) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f (x ) имеет максимум при условии, что функция f (x ) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f? (x ) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f (x ) имеет минимум при условии, что функция f (x ) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f? (x ) обращается в нуль; если при этом вторая производная f?? (а) отрицательна, то функция f (x ) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

О случае f?? (а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f? (x ) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f? (x ) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y (x ) = 3 x 2 + 2 x - 50.

Производная функции: y? (x ) = 6 x + 2

Решаем уравнение: y? (x ) = 0

6х + 2 = 0,6х = -2,х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х 0 =-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х 0 меняется с «плюса» на «минус», то х 0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х 0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у ? (-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х 0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y (x ) = 3 sin (x ) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [ -6; -3 ]

Итак, производная функции —

y? (x ) = 3 cos (x ) — 0,5

Решаем уравнение 3 cos (x ) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) — 2 π *2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = - arccos (0,16667) — 2 π *1 = -7,687

х = arccos (0,16667) — 2 π *1 = -4,88

х = - arccos (0,16667) + 2 π *0 = -1,403

х = arccos (0,16667) + 2 π *0 = 1,403

х = - arccos (0,16667) + 2 π *1 = 4,88

х = arccos (0,16667) + 2 π *1 = 7,687

х = - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88 ) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687 ) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88,у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88,у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y (-6) = 3 cos (-6) — 0,5 = 3,838

y (-3) = 3 cos (-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f (x ), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x ) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f (x ) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f (x , y ), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

f х ? (x , y ) = 0, f у ? (x , y ) = 0

2) для каждой критической точки Р 0 (a ; b ) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f (x , y ) - f (a , b )

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р 0 . Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р 0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р 0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
• Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Рассмотрим следующий рисунок.

На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0.

Максимум и минимум функции

В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.

Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.

Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.

Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.

Стационарные и критические точки

Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.

Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:

1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.

2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.