Четыре формы комплексных. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi .

Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z 2 ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

Легко показать, что

Примеры .

1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R .

(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i .

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;

если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p .

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Таким образом: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Тригонометрическая форма комплексного числа

План

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).

Рисунок 3

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).

Рисунок 4

Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку .

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о , то ;

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть комплексному числу а + bi соответствует вектор OA > с координатами (а, b ) (см. рис. 332).

Обозначим длину этого вектора через r , а угол, который он образует с осью х , через φ . По определению синуса и косинуса:

a / r = cos φ , b / r = sin φ .

Поэтому а = r cos φ , b = r sin φ . Но в таком случае комплексное число а + bi можно записать в виде:

а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).

Как известно, квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому r 2 = a 2 + b 2 , откуда r = √a 2 + b 2

Итак, любое комплексное число а + bi можно представить в виде :

а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)

где r = √a 2 + b 2 , а угол φ определяется из условия:

Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической .

Число r в формуле (1) называется модулем , а угол φ - аргументом , комплексного числа а + bi .

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.

Модуль любого комплексного числа определен однозначно.

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π . Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ

0 (cos φ + i sin φ ) = 0.

Поэтому аргумент нуля не определен.

Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z . Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример. 1 . 1 + i .

Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следовательно, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , откуда φ = π / 4 + 2n π .

Таким образом,

1 + i = √ 2 ,

где п - любое целое число. Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2π . В данном случае таким значением является π / 4 . Поэтому

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)

Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число √ 3 - i . Имеем:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Поэтому с точностью до угла, кратного 2π , φ = 11 / 6 π ; следовательно,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i sin 11 / 6 π ).

Пример 3 Записать в тригонометрической форме комплексное число i .

Комплексному числу i соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π / 2 . Поэтому

i = cos π / 2 + i sin π / 2 .

Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число 3.

Комплексному числу 3 соответствует вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).

Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен 0. Поэтому

3 = 3 (cos 0 + i sin 0),

Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.

Комплексному, числу -5 соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π . Поэтому

5 = 5(cos π + i sin π ).

Упражнения

2047. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлетворяют условиям:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и - r ?

2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы φ и - φ ?

Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20°).

2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15°).

3.1. Полярные координаты

На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .

Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .

Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.

Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.

На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .

Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:

3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:

Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .

Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что

.

При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что

Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. 1) считаем модуль: ;

2) ищем φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .

Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:

Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;

1) ;

2) ; φ – в 4 четверти:

3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;